High order schemes for solving the time-dependent Schr\"odinger equation
D. A. Volobueva1,2, A. A. Gusev 1,3,4, O. Chuluunbaatar,1,4,5, V. L. Derbov6, S. I. Vinitsky1,7, 1Joint Institute for Nuclear Research, Dubna, Russia; 2 Dubna branch of Lomonosov Moscow State University, Dubna, Russia; 3 Dubna State University, Dubna, Russia; 4Mongolian University of Science and Technology, Ulaanbaatar, Mongolia; 5 Institute of Mathematics and Digital Technology, Ulaanbaatar, Mongolia; 6Saratov State University, Saratov, Russia; 7 RUDN University, Moscow, Russia
Abstract
Implicit high-order operator-difference schemes for solving initial-boundary value problems (IBVPs) for the time-dependent Schrödinger equation (TSDE) are constructed. These multilayer schemes are based on the Magnus expansion of the evolution operator and Padé approximations. The solution is discretized with respect to the spatial variable using the finite element method with Hermite interpolation polynomials, ensuring the required smoothness of the solution and the symmetry property of the matrices of the corresponding algebraic problems. The convergence of the proposed schemes is demonstrated using benchmark IBVP calculations for the TSDE, which describes the evolution of several quantum systems.
Speaker
Vladimir L. Derbov
Saratov State University
Russia
Report
File with report
Discussion
Lyubov
Dear Professor Derbov,
Could you please explain how you determine the optimal time step when rounding errors begin to make a significant contribution to the total error? Is there a criterion for determining when further reducing the time step no longer improves the accuracy? I’m referring to the third example, Figure 4.
Vladimir L. Derbov
Here is a more detailed reply from Alexander Gusev gooseff@jinr.ru В этом тексте мы сравниваем решения, полученные на вдвое сгущающихся
сетках между собой.
Отклонения от теоретических значений связаны либо с тем, что не дошли до
шага с которого
начинают выполняться условия теоремы сходимости (как на рис 4 при 2M=2,
где линии соответствующие большим шагам лежат (в логарифмической шкале)
ближе,
чем линии соответсвующие функциям, отличающимся в 2 раза)
либо с погрешностями округления (как на рис 4 при 2M=4, 6, тоже самое,
но для малых шагов).
Похожее наблюдается и на рис. 1 и 3.
Наш следующий шаг про развитию данного подхода состоит в разработке схем
с автоматическим выбором шага,
которые основаны на том, что сравниваются результаты, полученные на двух
сетках, отличающихся в два раза.
Они должны лежать в диапазоне (a,a*2^(2M)), где а -- предполагаемые
погрешности округления (от 4 значащих цифр).
Lyubov
Dear Professor Derbov,
Could you please explain how you determine the optimal time step when rounding errors begin to make a significant contribution to the total error? Is there a criterion for determining when further reducing the time step no longer improves the accuracy? I’m referring to the third example, Figure 4.
Vladimir L. Derbov
Dear Lubov, thank you for your question/ As far as I know, the optimal
step is determined empirically. No criterion.
I also asked the member of our team who performed computing
of Fig.4 and will let you know his response.
Yours
Vladimir Derbov
Ask question
