Method for measuring absolute distances with harmonic modulation of the semiconduc-tor laser wavelength

Abstract

Метод измерения абсолютных расстояний при гармонической модуляции длины волны полупроводникового лазера
Method for measuring absolute distances with harmonic modulation of the semiconductor laser wavelength
А.В. Джафаров, С.Ю. Добдин, А.В. Скрипаль

Саратовский национальный исследовательский
государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, Саратов, Россия

Предложен метод измерения абсолютных расстояний по спектру автодинного сигнала лазерного автодина. Спектр автодинного сигнала формируется за счет гармонической модуляции длины волны лазера. В отличие от треугольной модуляции длины волны лазера в спектре автодинного сигнала формируется набор гармоник кратных частоте модуляции тока питания лазера. Нами показано, что за значение частоты, соответствующей максимальной скорости изменения тока питания лазера, следует принимать частоту, соответствующую середине спада огибающей Фурье спектра. Получена зависимость погрешности определения абсолютного расстояния от величины девиации длины волны лазерного автодина. Полученная зависимость указывает на то, что с ростом девиации точность определения расстояния увеличивается и достигает величины 20 мкм при величине девиации в 1 нм.

A method for measuring absolute distances from the spectrum of the self-mixing signal of a laser autodyne is proposed. The spectrum of the self-mixing signal is formed by harmonic modulation of the laser wavelength. In contrast to the triangular modulation of the laser wavelength, a set of harmonics is formed in the spectrum of the self-mixing signal that is a multiple of the frequency of the laser power supply current modulation. We have shown that the frequency corresponding to the maximum rate of change of the laser supply current should be taken as the frequency corresponding to the middle of the envelope decay of the Fourier spectrum. The dependence of the error in determining the absolute distance on the deviation of the self-mixing laser wavelength is obtained. The obtained dependence indicates that with increasing deviation, the accuracy of distance determination increases and reaches a value of 20 microns with laser wavelength deviation of 1 nm.

Как было показано в работе []. В этом случае
Модель интерференционного сигнала при гармонической модуляции длины волны лазерного автодина
При модуляции длины волны лазерного излучения мощность полупроводникового лазера P может быть записана в виде амплитудной и фазовой составляющей, зависящих от плотности тока накачки [22]:
, (1)
где P1 – постоянная составляющая мощности, P2 – амплитудная составляющая мощности, зависящая от фазового набега волны ω(j(t))τ в системе с внешним отражателем,
τ=2⋅L/c – время обхода лазерным излучением расстояния до внешнего отражателя, – частота излучения полупроводникового лазера, зависящая от плотности тока накачки и уровня обратной связи.
На параметры автодинного сигнала влияет уровень внешней оптической обратной связи [23-25]. Как показано ранее, можно выбрать уровень обратной связи, при котором частота излучения полупроводникового лазера не будет изменяться значительно и тем самым вносить искажения в форму интерференционного сигнала [26, 27].
В этом случае при гармонической модуляции плотности тока накачки частота излучения полупроводникового лазера приобретает вид:
, (2)
где – собственная частота излучения полупроводникового лазерного диода; – девиация частоты излучения полупроводникового лазерного диода; – частота модуляции тока питания лазерного диода. Выражение для мощности излучения частотномодулированного полупроводникового лазера (3) запишется в виде:
, (3)
где стационарная фаза автодинного сигнала θ=ω_0 τ, амплитуда фазы токовой модуляции σ=ω_A τ, круговая частота модуляции тока питания лазерного диода Ω=2πν_.
Поскольку для определения расстояния используется только фазовая составляющая многочастотного автодинного сигнала, то выражение (4) можно записать в виде:
P(j(t))=P_2 cos⁡( θ+4L /^2 sin⁡( Ωt)), (4)
Для анализа автодинного сигнала в условиях гармонической модуляции длины волны излучения лазерного диода мы будем использовать представление сигнала в виде разложения в ряд по функциям Бесселя первого рода Jn и в ряд Фурье с амплитудами спектральных составляющих Sn. В этом случае P(t) без учёта постоянной составляющей принимает вид:
(5)
Для анализа спектра автодинного сигнала используем связь частоты спектральной гармоники с мгновенной скоростью движения отражателя. Предположим, что объект прямолинейно равномерно движется с постоянной скоростью ϑ на участке наблюдения . В этом случае зависимость времени обхода лазерным излучением внешнего резонатора от времени примет следующий вид:
. (5)
Тогда нормированную составляющую автодинного сигнала можно представить в виде:
, (6)
учитывая, что , получаем:
. (7)
Сопоставляя полученное выражение (6) для переменной нормированной составляющей автодинного сигнала с гармонической функцией косинуса в виде:
, (8)
где ε=4π⋅L_0/λ_0 – начальная фаза, и учитывая, что Ω=2π⋅_n, где _n – частота изменения автодинного сигнала при поступательном движении отражателя, получаем:
_n=(2⋅ϑ)/λ_0 , ,
откуда скорость:
ϑ=_n⋅λ_0/2. (9)
То есть, мгновенную скорость движения внешнего отражателя можно получить, определив частоту переменной нормированной составляющей спектра автодинного сигнала с использованием выражения (9).
Для определения расстояния до отражателя при гармонической модуляции длины лазерного автодина используем связь:

Приравнивая мгновенную скорость (9), полученную из спектра автодинного сигнала, производной от амплитуды девиации частоты излучения полупроводникового лазерного диода,
d(4L /^2 sin⁡( 2t))/dt=(_n⋅λ_0)/2
можно получить соотношение, связывающее расстояние до отражателя с частотой спектральной гармоники _n:
L=^2/4 n, (*)
где n=_n/ – номер гармоники, соответствующий расстоянию до отражателя. Как было показано в работе [], при разложении автодинного сигнала в ряд Фурье спектр будет представлять собой свертку спектра автодинного сигнала с Фурье-образом прямоугольного окна. В этом случае за значение частот высокочастотной составляющей ν_"n" следует принимать частоты, соответствующие середине спада огибающей спектра.






 
Для моделирования автодинного сигнала использовалась программа, написанная на языке Python 3 в программной среде PyCharm IDE. Для построения моделей сигналов, а также для их анализа использовался программный модуль numpy, для отображения графиков был применён модуль matplotlib.
Моделирование автодинного сигнала проводилось при следующих параметрах: λ = 650 нм, девиация длины волны излучения полупроводникового лазерного диода  = 0.01 нм, расстояние до объекта L = 52,8 мм, частота модуляции тока лазерного излучения = 100 Гц,  = /4. На рис.1 и 2 приведены модель интерференционного сигнала и его Фурье-спектр.

Рис.1. Модель интерференционного сигнала (  = 0.01 нм, L = 52,8 мм)


Рис.2. Спектр интерференционного сигнала ( = 0.01 нм, L = 52,8 мм)

Спектр интерференционного сигнала (рис.2) содержит большое число гармоник, отношение амплитуд которых в соответствии с формулой (8) позволяет определить расстояние до отражателя. Анализ этих отношений показывает, что не все из них имеют достаточную точность. В таблице приведены результаты расчета расстояния до отражателя по отношению гармоник с различными номерами с использованием соотношений (8), (9).
n


L, mm  погрешность, %  погрешность, m
1 9.8 0.14014 0.575343 1.93 >100 –
2 0.225 0.278 4.34 14.6 >100 –
3 0.139 0.002 1.07 3.6 >100 –
4 0.278 0.277 6.4 21.52 >100 –
5 0.002 0.213 8.75 29.44 >100 –
6 0.277 0.086 6.6 22.2 >100 –
7 0.213 0.301 10.03 33.75 >100 –
8 0.086 0.259 11.71 39.37 >100 –
9 0.301 0.028 5.9 19.85 >100 –
10 0.259 0.219 12.52 42.1 25 11000
11 0.028 0.363 15.708 52.81 <10-11 <10-14
12 0.219 0.382 15.708 52.81 <10-11 <10-14
13 0.363 0.318 15.708 52.81 <10-11 <10-14
14 0.382 0.225 15.708 52.81 <10-11 <10-14
15 0.318 0.140 15.708 52.81 <10-11 <10-14
Как следует из таблицы, высокая точность измерений достигается при использовании отношения гармоник высоких порядков, в частности, начиная с n = 11. Такая закономерность объясняется свойствами функций Бесселя. На рис. 3 приведены графики зависимостей функций Бесселя различных порядков Jn от аргумента , а на рис.4 графики отношения этих функций, используемые для определения аргумента  из соотношения (8).


Рис. 3. Графики зависимостей функций Бесселя различных порядков Jn от аргумента 

Как видно из рис.3, значение аргумента  в области однозначности для функций Бесселя первого порядка составляет 1.8, третьего – 4.3, десятого – 11.8.


Рис.4. Графики зависимостей отношений функций Бесселя различных порядков, используемых для определения аргумента =15.71 ( = 0.01 нм, L = 52,8 мм)

Как видно из рис.4 и таблицы, значение корня уравнения (8) для расстояния L = 52,8 мм равно =15.71 и находится для отношения функций Бесселя J8 и J10 в области неоднозначности, а отношения функций Бесселя J12 и J14 корень уравнения находится в области однозначности. Таким образом, поскольку функции Бесселя имеют области неоднозначности, то для достоверного определения аргумента при выборе спектральных составляющих интерференционного сигнала необходимо ограничиться областью однозначности, которая находится в конце значимой области спектра.
На практике оценка точности измерений должна проводится с учетом точности определения тех величин, которые дают максимальную погрешность. Мы использовали данные по погрешностям измерений на лазерных автодинах, приведенных в работах [18-20, 22]. Нами вводились две шумовые составляющие: в формулу расчета мощности автодинного сигнала, соотношение (4), и в измеряемую амплитуду спектральных гармоник, используемых в соотношении (8). Результаты расчета расстояния до отражателя и погрешность его определения приведены в таблице. При этом выбирались взятые из измерений 5% погрешность мощности автодинного сигнала и 1% погрешность амплитуд спектральных гармоник.


n


L, mm  погрешность, %  погрешность, mkm
11 0.028 0.363 15.71 52.81 0.0074 3.9
12 0.219 0.382 15.697 52.78 0.07 35
13 0.363 0.318 15.687 52.74 0.14 71
14 0.382 0.225 16.678 52.71 0.19 100
15 0.318 0.140 15.671 52.68 0.23 123

С учетом области однозначности функций Бесселя для расчета абсолютного расстояния по спектру интерференционного сигнала, приведенного на рис. 3, выбирались спектральные гармоники с номерами n от 11 и больше. В частности, отношение гармоник J11 и J13 в уравнении (7) показывает наилучший результат и дает погрешность менее 5 мкм.
Модель интерференционного сигнала при изменении девиации длины волны лазерного автодина
При изменении девиации лазерного диода, будет изменяться форма и спектр интерференционного сигнала. На рис. 5 и 6 приведены модель интерференционного сигнал и его спектр при следующих параметрах:  = 0.05 нм, L = 52,8 мм.

Рис.5. Модель интерференционного сигнала ( = 0.05 нм, L = 52,8 мм)

Рис.6. Спектр интерференционного сигнала ( = 0.05 нм, L = 52,8 мм)

Если провести сравнительный анализ рис. 2 и 6, то можно установить закономерность, при которой с ростом девиации увеличивается количество интерференционных максимумов, а спектр обогащается гармониками высоких порядков.
На рис.7 приведена зависимость погрешности определения абсолютного расстояния от величины девиации длины волны лазерного автодина. Полученная зависимость указывает на то, что с ростом девиации точность определения расстояния увеличивается и достигает микронной величины при  = 0.06 нм.

Рис.7. Зависимость погрешности определения абсолютного расстояния от величины девиации на расстоянии L=52,8 мм

Если в процессе измерения расстояния изменять величину девиации так, чтобы набор измеряемых гармоник находился в области высоких частот, то точность измерений повышается при уменьшении расстояния. С учетом области однозначности функций Бесселя для расчета абсолютного расстояния по спектру интерференционного сигнала, приведенного на рис. 6, выбирались спектральные гармоники с номерами n от 70 и больше. На рис.8 приведена зависимость погрешности измерений от расстояния до отражателя при неизменном наборе спектральных составляющих с номерами n = 70 и 72.

Рис.8. Зависимость погрешности измерений от расстояния до отражателя при неизменном наборе спектральных составляющих с номерами n = 70 и 72

Уменьшение погрешности измерений, наблюдаемое на рис.8, обусловлено увеличением девиации при уменьшении расстояния до отражателя. Поскольку для постоянной девиации при уменьшении расстояния до отражателя количество спектральных гармоник Фурье-спектра становится меньше, то для того, чтобы набор измеряемых гармоник находился в области высоких частот, необходимо было увеличивать величину девиации длины волны лазерного излучения. Диапазон изменения величины девиации составил от 0.1 нм до 1 нм при точности измерений в диапазоне от 3 до 0.2 мкм.
Заключение
В результате проведённого компьютерного моделирования было показано, что предлагаемый метод гармонической модуляции лазерного излучения позволяет измерять абсолютные расстояния с микронной точностью. Установлено, что для расчёта расстояния по спектру автодинного сигнала требуется выбор спектральных гармоник высокого порядка, что обусловлено поведением функции Бесселя в области однозначности нахождения решения. При уменьшении расстояния до отражателя возникает проблема уменьшения количества спектральных гармоник Фурье-спектра автодинного сигнала, что влияет на точность метода. Изменение величины девиации длины волны излучения позволяет контролировать этот процесс и сохранять точность при уменьшении расстояний. Проведенные расчеты обосновывают возможность применения лазерного автодина при разработке лазерных зондовых измерителей рельефа поверхности с микронной точностью.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 19-79-00122).

Список литературы
Daendliker R., Hug K., Politch J., Zimmermann E. High-accuracy distance measurements with multiple-wavelength interferometry. Optical Engineering. 1995; 34(8), P. 2407-2413. DOI:10.1117/12.205665
Berkovic G., Shafir E. Optical methods for distance and displacement measurements. Advances in Optics and Photonics. 2012; 4(4), P.441-471. DOI:10.1364/AOP.4.000441
Amann M. C., Bosch T. M., Lescure M., Myllylae R. A., Rioux M. Laser ranging: a critical review of usual technique for distance measurement. Optical Engineering; 2001; 40(1), P.10-19.
Donati S. Developing self-mixing interferometry for instrumentation and measurements // Laser Photonics Rev. 2012. Vol. 6. iss. 3. P. 393–417. DOI:10.1002/lpor.201100002.
Norgia M. High resolution self-mixing laser rangefinder / M. Norgia, A. Magnani, A. Pesatori. // Review of Scientific Instruments.– 2012. – Vol.83, Issue 4. – http://dx.doi.org/10.1063/1.3703311
Ke K. Injected current reshaping in distance measurement by laser self-mixing interferometry / K. Kou, X. Li, L. Li, H. Xiang. // Applied Optics. – 2014. – Vol. 53, Issue 27. – P.6280-6286. – http://dx.doi.org/10.1364/AO.53.006280
Deborah M., Kane K., Shore A. Unlocking dynamical diversity: Optical feedback effects on semiconductor lasers. Chichester: John Wiley & Sons Ltd, 2005. 339 p.
Zhua W., Chenb Q., Wangb Y., Luob H., Wub H., Maa B. Improvement on vibration measurement performance of laser self-mixing interference by using a pre-feedback mirror // Opt. Lasers Eng. 2018. Vol. 105. P. 150–158.
Li D., Huang Z., Mo W., Ling Y., Zhang Z., Huang Z. Equivalent wavelength self-mixing interference vibration measurements based on envelope extraction Fourier transform algorithm // Appl. Opt. 2017. Vol. 56. iss. 31. P. 8584–8591. DOI:10.1364/AO.56.008584
Соболев В.С., Кащеева Г.А. МЕТОДЫ АКТИВНОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ С ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ Измерительная техника. 2010. № 3. С. 59-64. METHODS OF ACTIVE INTERFEROMETRY WITH FREQUENCY MODULATION Sobolev V.S., Kashcheeva G.A. Measurement Techniques. 2010. Т. 53. № 3. С. 333-341.
Norgia M., Donati S. A Displacement-measuring instrument utilizing self-mixing interferometry // IEEE Trans. Instrum. Meas. 2003. Vol. 52. Iss. 6. P. 1765–1770.
Xu J., Huang L., Yin S., Bingkun G., Chen P. All-fiber self-mixing interferometer for displacement measurement based on the quadrature demodulation technique // Opt. Rev. 2018. Vol. 25. iss. 1. P. 40–45.
Guo D., Shi L., Yu Y., Xia W., Wang M. Micro-displacement reconstruction using a laser self-mixing grating interferometer with multiple-diffraction // Optics Express. 2017. Vol. 25. iss. 25. P. 31394–31406. DOI:10.1364/OE.25.031394
Koelink M. H., Slot M., M. de Mul F.F. Laser Doppler velocimeter based on the self-mixing effect in a fiber-coupled semiconductor laser: theory // Appl. Opt. 1992. Vol. 31. P. 3401–3408.
Scalise L., Yu Y.G., Giuliani G., Plantier G., Bosch T. Self-mixing laser diode velocimetry: Application to vibration and velocity measurement // IEEE Trans. Instrum. Meas. 2004. Vol. 53. iss. 1. P. 223–232.
Hao Lin, Junbao Chen, Wei Xia, Hui Hao, Dongmei Guo, Ming Wang, Enhanced self-mixing Doppler velocimetry by fiber Bragg grating // Optical Engineering 2018. Vol. 57. iss. 5. № 051504. DOI:10.1117/1.OE.57.5.051504
Guo D., Jiang H., Shi L. Wang M. Laser Self-Mixing Grating Interferometer for MEMS Accelerometer Testing // IEEE Photonics J. 2018. Vol. 10. iss. 1. № 6800609.
Скрипаль Ан. В., Добдин С. Ю., Джафаров А. В., Садчикова К. А., Дубровская И. А. Интерферометрия ускорения по спектру автодинного сигнала полупроводникового лазера // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Физика. 2019. Т. 19, вып. 4. С. 279–287. DOI: https://doi.org/10.18500/1817-3020-2019-19-4-279-287
Д.А. Усанов, А.В. Скрипаль, Е.И. Астахов, С.Ю. Добдин, "Лазерная автодинная регистрация наноперемещений при модуляции длины волны лазерного излучения", Квант. электроника, 2018, 48 (6), 577–581.
D A Usanov, A V Skripal, E I Astakhov, S Yu Dobdin, "Laser autodyne registration of nanodisplacements under laser radiation wavelength modulation", QUANTUM ELECTRON, 2018, 48 (6), 577–581 DOI: https://doi.org/10.1070/QEL16460
D. Usanov, A. Skripal, et al. Self-mixing laser diode included in scanning microwave microscope to the control of probe nanodisplacement // Proc. SPIE. 10717, Saratov Fall Meeting 2017: Laser Physics and Photonics XVIII; and Computational Biophysics and Analysis of Biomedical Data IV, SPIE Conference Proceeding | April 26, 2018.
Усанов Д.А., Скрипаль А.В., Добдин С.Ю., Джафаров А.В., Соколенко И.C. Предельные возможности автодинной интерферометрии расстояния пилообразной модуляции длины волны полупроводникового лазера // Компьютерная оптика, 2019, том 43, №5, C.797-803 DOI: 10.18287/2412-6179-2019-43-5-796-802 (Scimago Journal, 2018 = 0,535)
Усанов Д.А., Скрипаль А.В., Добдин С.Ю., Астахов Е.И., Костюченко И.Ю., Джафаров А.В. Методы автодинной интерферометрии расстояния при токовой частотной модуляции полупроводникового лазера // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Физика. 2018. Т. 18. вып. 3. С.189-201.
Olesen H., Osmundsen J. H., Tromborg B. Nonlinear dynamics and spectral behavior for an external cavity laser // IEEE J. Quantum Electron. 1986. Vol. 22. iss. 6. P. 762–773.
Schunk N., Petermann K. Numerical analysis of the feedback regimes for a single-mode semiconductor lasers with external feedback // IEEE J. Quantum Electron. 1988. Vol. 24. iss. 7. P. 1242–1247.
Сухарев А. Г., Напартович А. П. Режим гармонической модуляции излучения полупроводникового лазера с внешней обратной связью // Квантовая электроника. 2007. № 37:2. С. 149–153.
Giuliani G., Norgia M., Donati S. and Bosch T. Laser diode self-mixing technique for sensing application // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2002. Vol. 4. P. S283-S294.
А.В. Скрипаль, С.Ю. Добдин, А.В. Джафаров, К.А. Садчикова, В.Б. Феклистов ИЗМЕРЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОЙ МОДУЛЯЦИИ ДЛИНЫ ВОЛНЫ ЛАЗЕРНОГО АВТОДИНА С УЧЁТОМ ВНЕШНЕЙ ОПТИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Физика. 2020. Т. 20. вып. 2. С….

Speaker

S.Yu.Dobdin
Saratov national research state University named after N. G. Chernyshevsky
Russia

Report

File with report

Discussion

Ask question